Невозможные фигуры
Все мы знаем о ленте Мёбиуса, но не все, вероятно, знают о её "родной сестре" бутылке Клейна.

В отличие от обычной бутылки бутылка Клейна не имеет края, а еe поверхность нельзя разделить на внутреннюю и наружную. Та поверхность, которая кажется наружной, непрерывно переходит в ту, которая кажется внутренней,как переходят друг в друга две, на первый взгляд различные, "стороны" листа Мебиуса. К сожалению, в трехмерном пространстве нельзя поcтроить бутылку Клейна, поверхность которой была бы свободна от точек самопересечения.
Представим себе, что мы оттянули нижний конец трубки, загнули его вверх и, пропустив сквозь поверхность трубки, совместили с верхним концом. У реальной модели, изготовленной, например, из стекла, в том месте, где конец трубки проходит сквозь ее поверхность, придется оставить отверстие.

Его не следует принимать во внимание: оно считается как бы затянутым продолжением поверхности бутылки. Иначе говоря, отверстия нет, есть только самопересечение поверхности бутылки. Такое самопересечение неизбежно до тех пор, пока мы имеем дело с трехмерной моделью. Если же мы представим себе, что вся поверхность погружена в четырехмерное пространство, то самопересечение можно будет полностью исключить.
Прочие невозможные фигуры

Бливет

Сколько же зубцов у этого существа - два или три? ем ответить на вопрос - сколько у него зубцов - два или три? А это смотря с какой стороны на него посмотреть! У основания их два, но в какой-то момент к ним добавляется третий, причем указать точку, где именно происходит обозначенная трансформация, невозможно! Короче, тут есть, над чем подумать... (кстати, плакаты с невозможными фигурами любят развешивать в психиатрических клиниках - говорят, что они успокаивают пациентов, подолгу зависающих над плакатами в глубоких раздумьях о непостижимости сущего и необъятности необъятного).

Тессеракт или гиперкуб - аналог куба в четырехмерном пространстве

Эта фигура также известная под названием тессеракт (tesseract). Тессеракт относится к кубу, как куб относится к квадрату. Более формально, тессеракт может быть описан как правильный выпуклый четырехмерный политоп (многогранник), чья граница состоит из восьми кубических ячеек.
Согласно Окфордскому словарю английского языка, слово "tesseract" было придумано в 1888 Чарльзом Говардом Хинтоном (Charles Howard Hinton) и использовано в его книге "Новая эра мысли" ("A New Era of Thought"). Слово было образовано от греческого термина, обозначающего "четыре луча", имеется в виду четыре оси координат. Кроме этого, в некоторых источниках, эту же фигуру называли тетракубом (tetracube).

Треугольник Реутерсварда

Фигура, в виде набора кубиков, была изображена в 1934 году шведским художником Оскаром Реутерсвардом.

Трехбалочник Роджера Пенроза

Треугольник Пенроуза — одна из основных невозможных фигур, известная также под названиями невозможный треугольник и трибар. Был открыт в 1934 году шведским художником Оскаром Реутерсвардом, который изобразил его в виде набора кубиков. В 1980 году этот вариант невозможного треугольника был напечатан на шведских почтовых марках.
Широкую известность эта фигура обрела после опубликования статьи о невозможных фигурах в Британском журнале психологии английским математиком Роджером Пенроузом. В этой статье невозможный треугольник был изображен в наиболее общей форме — в виде трёх балок, соединённых друг с другом под прямыми углами. Под влиянием этой статьи в 1961 голландский художник Мауриц Эшер создал одну из своих знаменитых литографий «Водопад».

Вот его компьютерная модель:

Другая известная работа Пенроуза (повторенная в гравюре Эшера "Бесконечный спуск") изображена ниже. Как видно, она представляет собой разновидность "Водопада", трансформированную в лестницу, ведущую в вечность, по которой можно подниматься (спускаться) бесконечно. Если бросить на лестницу мячик, то мы получим вполне конкретный вечный двигатель.

Бесконечное восхождение.

Невозможные фигуры довольно популярны в искусстве, например, в гравюрах или иконах.

Бельведер/Belvedere Эшера

Укрупненный фрагмент картины с невозможным кубиком.

Невозможная картина Жоса де Мея. Проверка на внимательность - что же здесь такого невозможного?

Также невозможные фигуры можно сделать возможными и объемными. Если на них смотреть с правильного угла, разумеется.

Объёмная модель невозможного треугольника. Сверху - отражение, чтобы было понятно, как ЭТО делается.

Кстати говоря, Треугольник Пенроуза увековечен в виде статуи в Перте (Австралия). Созданный усилиями художника Брайна МакКея/Brian McKay и архитектора Ахмада Абаса/Ahmad Abas, он был воздвигнут в парке Клайзебрук/Claisebrook в 1999 году и теперь все проезжающие мимо могут видеть следующую "невозможную" фигуру.

Но стоит изменить угол зрения, как треугольник из "невозможного" превращается в реальное и эстетически непривлекательное сооружение, не имеющее к треугольникам никакого отношения.

Под конец несколько весёлых невозможных вещичек:

Невозможные сидения

Невозможное колесо

Невозможное окно

Невозможное сечение куба

Невозможная витрина